【案例分析題】張某是某單位干部，一直單身，居住在流水街50號。2010年春節(jié)后，張某因病去世，留下銀行存款10萬元、古董字畫若干。張某所在的街道辦事處認為，張某無繼承人，未留下遺囑，因此向區(qū)人民法院申請認定張某的財產(chǎn)為無主財產(chǎn)，區(qū)法院受理后，經(jīng)審查核實，發(fā)出財產(chǎn)認領(lǐng)公告。因無人對張某的遺產(chǎn)主張權(quán)利，公告期滿，區(qū)人民法院判決認定，張某的遺產(chǎn)為無主財產(chǎn)。半年后，從外地來了一位年輕人，聲稱是張某的親生兒子，經(jīng)法院審查核實，該年輕人系張某下放時的私生子。根據(jù)上述案情，請回答下列各題：如果張某的兒子在公告期間即依法對財產(chǎn)提出申請，主張繼承其父親財產(chǎn)的，人民法院應(yīng)當如何處理？（）